Infiniti più grandi di altri

L’infinito è un concetto che da sempre ha dato modo al pensiero di speculare sotto più campi del sapere. Essendo di grande valore poetico, non solo numerosi studiosi, ma anche molti scrittori ne hanno parlato. Il suo potere evocativo e suggestivo ha dato modo di comporre le più grandi poesie e le più belle opere d’arte. Molte sono le cose infinite di cui parliamo quotidianamente, dall’affetto che possiamo provare per la persona amata alla grandezza dell’universo (che poi così tanto infinito non è). L’infinito è stato da sempre il concetto che ha permesso di esprimere la grandezza massima di qualche cosa e/o il numero più grande concepibile, almeno fino a George Cantor.

Mi dispiace per i lettori che hanno iniziato a leggere questo articolo con l’aspettativa di incontrare parole di alto valore emotivo e poetico: ciò che seguirà tenterà di porre l’attenzione sull’infinito dal punto di vista matematico, a cominciare da una scoperta sensazionale fatta proprio da Cantor. Spero che tu, caro lettore, riuscirai provare le stesse emozioni di stupore che ho provato io quando ho incontrato per la prima volta questa scoperta, sentimenti che spero possano eguagliare gli stessi che si provano quando si legge L’infinito di Leopardi.

Da sempre l’infinito è stato concepito come il numero più grande possibile: lo stesso Galileo Galilei, tentando di problematizzare questo concetto, arriva alla conclusione che quando si parla di infinito si fa riferimento sempre allo stesso tipo di infinito, poiché di infinito ve n’è uno solo. Galilei cita come esempio proprio i numeri e dice: se cominciamo a enumerare (contare) i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, … indicati con la lettera N) e quelli pari (0, 2, 4, 6, …) possiamo trovare una corrispondenza biunivoca, ovvero a ogni elemento dell’insieme dei numeri naturali posso associare uno e un solo elemento dell’insieme dei numeri pari.

Seppure possa sembrare che i numeri pari siano meno dei numeri naturali, poiché l’insieme dei numeri naturali è compreso di numeri pari e dispari, non è così. Il fatto di poter trovare una corrispondenza biunivoca che vada all’infinito tra i due insiemi significa che questi insiemi hanno lo stesso numero di elementi (equinumerosi o equipotenti), ovvero un infinito numero di elementi.

Ma veniamo alla prova di Cantor.

Trattando i numeri come se fossero degli insiemi, Cantor comincia pian piano a contare gli insiemi tra di loro (compie una enumerazione come abbiamo detto). Visto che i numeri sono infiniti e non esiste un infinito più grande di un altro, allora tutti gli insiemi di numeri dovrebbero essere ugualmente infiniti, o almeno questo è quello che ci aspetteremmo.

Vediamo che succede facendo un passo dopo l’altro:

Enumeriamo l’insieme dei numeri naturali (N) e l’insieme dei numeri interi (0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, … indicati con la lettera Z).

Procedendo all’infinito notiamo che l’enumerazione è la stessa e quindi parliamo sempre dello stesso infinito, esattamente come abbiamo visto sopra con l’insieme dei numeri pari.

Adesso mettiamo in corrispondenza l’insieme dei numeri naturali (N) e l’insieme dei numeri razionali (in breve quelli che si scrivono con la linea di frazione, ad esempio 3/4, 7/8, e si indicano con la lettera Q). Scriviamo in una tabella tutti i numeri razionali e poi cominciamo a contarli (in questo modo possiamo mettere in corrispondenza i numeri che usiamo per contare, i numeri naturali, e i numeri razionali).

In che modo li contiamo? Partiamo dal numero 0/1 e ci spostiamo verso il basso a 1/1, poi risaliamo a 0/2 e ci sposiamo verso destra a 0/3, poi scendiamo in diagonale toccando prima 1/2 e poi 2/1. Possiamo proseguire a contare in questo modo all’infinito. L’insieme si può numerare e quindi mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali, senza lasciare spazi vuoti tra un numero e l’altro, all’infinito. Dobbiamo in seguito eliminare i numeri che si ripetono, per esempio il numero 2/2 e il numero 3/3, che sono lo stesso; per dirla in maniera più semplice, dobbiamo eliminare i doppioni.

Bene. Fino a ora non abbiamo nulla di nuovo, le idee di Galileo e più in generale di tutti i matematici (o se vogliamo pensatori), non vengono messe in dubbio, poiché possiamo confermare che quando parliamo di infinito stiamo parlando di un solo tipo di infinito.

Il problema, caro lettore, arriva qui.

Continuando il nostro esperimento, ovvero enumerando gli insiemi per tentare di trovare una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di partenza (quello dei numeri naturali, di cui ci serviamo anche per contare) e l’insieme che a mano a mano ci troviamo ad avere, subisce una variazione. Proprio da qui deriva la grande scoperta di Cantor.

Infatti, proviamo ora a mettere in corrispondenza il nostro insieme di partenza e l’insieme dei numeri reali (in breve quelli con infinite cifre dopo la virgola che non sono scrivibili con la linea di frazione, indicati con la lettera R), e vediamo cosa succede.

La dimostrazione che stiamo per vedere è leggermente più complessa delle altre e merita una concentrazione maggiore per essere compresa, ma posso assicurare che ne varrà la pena.

Cominciamo.

Mettiamo in corrispondenza biunivoca l’insieme dei naturali e l’insieme dei reali.

In questo modo crediamo di aver messo in corrispondenza biunivoca entrambi gli insiemi. Ma c’è un problema; noi crediamo che l’insieme R sia numerabile, ossia che si possa contare, ma il cuore della questione è proprio qui, questo insieme non è numerabile. Tra r¹ e r² possiamo trovare un nuovo numero rⁱ che può essere messo in corrispondenza con 1 e in questo caso il nostro r² scalerebbe e andrebbe in corrispondenza con 2, e via dicendo. La condizione che è emersa si ripete ulteriormente perché possiamo trovare un altro numero r^m tra r¹ e rⁱ che possiamo mettere quindi in coppia con 1, facendo scalare tutti gli altri. Questa operazione può essere ripetuta all’infinito. Ma approfondiamo l’argomento scrivendo al posto di rⁿ dei numeri reali.

Per rendere più facile la dimostrazione prendiamo solamente i numeri reali compresi nell’intervallo [0,1], esclusi gli estremi. In questo caso il nostro numero sarà del tipo 0, a₀ a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ … dove il nostro a_n può essere solo un numero compreso tra 0 e 9. Il nostro numero reale sarà del tipo 0,1452678347291047….

Cominciamo l’enumerazione cercando di legare uno e un solo elemento del primo insieme con uno e un solo elemento del secondo insieme.

Pensiamo in questo modo di aver enumerato tutti i numeri reali compresi nell’intervallo [0,1], ma seguiamo attentamente come procede Cantor adesso. Tracciamo una diagonale che parta da a₀₀ e passi per a₁₁, a₂₂, a₃₃, … e vada all’infinito. Costruiamo adesso un numero rⁿ: 0, b₀ b₁ b₂ b₃ b₄… in modo che abbia tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale. Lo facciamo mettendo al posto di una qualsiasi cifra b_n del numero che stiamo costruendo la cifra 0 se nella sequenza diagonale in a_n la cifra è diversa da 0, mettiamo invece al posto di b_n la cifra 1 se in a_n è 0.

0, a₀₀ a₁₁ a₂₂ a₃₃ a₄₄ a₅₅ a₆₆… questo è il nostro numero costruito sulla diagonale: 0,3049007…

0, b₀ b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆… questo è il nostro numero rⁿ che costruiamo: 0,0100110…

Il numero 0,0100110… che abbiamo costruito è effettivamente un numero reale compreso nell’intervallo [0,1]. Il problema è che questo numero non fa parte dell’enumerazione, sfugge al nostro conteggio. Il punto fondamentale è che il problema non si risolve neanche inserendo il numero trovato (o costruito) nell’enumerazione, poiché se lo facessimo sarebbe comunque possibile con lo stesso metodo trovare un nuovo numero reale che sfuggirebbe anch’esso all’enumerazione, e il procedimento potrebbe essere eseguito all’infinito.

Quella che Cantor usa è una dimostrazione per assurdo; sostiene la tesi opposta a quella che si vuole dimostrare fino a giungere a contraddizione. Se si trova una contraddizione, allora deve essere per forza vero il contrario. Nel nostro caso deve essere vero che l’insieme dei numeri reali non è numerabile e quindi che questo insieme è infinitamente più grande dell’infinito dei numeri che si possono numerare, per esempio i naturali. Per usare un linguaggio improprio, i numeri reali non hanno spazi vuoti - sono quindi detti continui - poiché si possono trovare infiniti numeri reali tra due numeri dati. Allora in questo senso i numeri numerabili sarebbero discreti poiché possiamo effettivamente andare all’infinito verso una sola direzione, contando. Sempre usando un linguaggio poco consono potremmo dire che tra due numeri numerabili che sono uno il successore dell’altro non c’è nulla.

Ecco, siamo giunti alla fine di questa dimostrazione. Per capirne l’importanza, ci basti sapere che questa scoperta ha rivoluzionato completamente la matematica, la filosofia e la logica, tanto che chiunque oggi abbia voglia di studiare i fondamenti della matematica deve confrontarsi prima o poi con gli infiniti di Cantor.