Insiemi, tazze, numeri e paradossi.
Il mio interesse per l'argomento di questo articolo, il paradosso di Russell, è dato dal fatto che quest'ultimo è legato al tema della mia tesi di laurea: il logicismo. Questa corrente di pensiero, che fa da sfondo a tale paradosso, viene intuita dal matematico Richard Dedekind (1831-1916) e ampliata dal logico e matematico Gottlob Frege (1848-1925). Il logicismo è un progetto volto a sostiene che la matematica, o una parte di essa, sia essenzialmente fondata su principi logici.
Frege costruisce un sistema formale tanto vasto da essere riconosciuto dalla maggior parte della critica contemporanea il più grande contributo alla logica dopo Aristotele. La logica nasce nella Grecia antica come indagine sul pensiero. Tale indagine si presenta come un vero e proprio metodo di ragionamento, e per questo si accosta fin da subito alla filosofia. Il passo importante che Frege compie è quello di legare la logica alla matematica. Prima di lui questo accostamento non era stato mai considerato poiché si pensava che queste due discipline non avessero molto da dirsi. La proposta di tale accostamento si amplia con il sostenere che la matematica, e nello specifico l'aritmetica, non sia altro che un'estensione della logica: da qui il logicismo.
Nel primo volume de I Principi dell'aritmetica (1893) Frege stipula una serie di assiomi (regole di base di un sistema formale) che chiama leggi fondamentali (Basic Laws) e per mezzo dei quali considera di aver ridotto l'aritmetica alla logica. Il problema sorge qui. Prima dell’uscita del secondo volume de I Principi dell’aritmetica (1903) Bertrand Russell (1872-1970), anch'egli logico e matematico, riscontra un problema nel sistema di Frege che comunica allo stesso per mezzo di una lettera (1902). Ciò che Russell scopre è che proprio per mezzo di una delle leggi fondamentali di Frege, la legge V (nota come Basic Law V), si genera un paradosso, oggi noto proprio come paradosso di Russell.
I numeri all'epoca di Frege venivano concepiti secondo la nozione intuitiva di insieme proposta da George Cantor (1845-1918). Cantor definisce un insieme come una collezione di elementi. In tale teoria i numeri vengono concepiti come insiemi e le operazioni aritmetiche fondamentali (addizione, moltiplicazione...) vengono spiegate per mezzo di "rapporti tra insiemi". Le ragioni per le quali nel seguente articolo è stata introdotta la nozione di insieme, nonostante il fatto che nel sistema di Frege tale nozione è marginale, sono due: 1) in questo articolo l'esposizione del paradosso di Russell viene presentata facendo riferimento alla nozione di insieme, e questo perché 2) la teoria degli insiemi è un ramo della logica matematica che ha riscontrato un'importanza estremamente rilevante nel panorama contemporaneo.
Il paradosso di Russell, esposto per mezzo della teoria degli insiemi di Cantor, mina un principio cardine della teoria: il principio di comprensione. Nella teoria di Cantor vi sono due principi: il principio di estensionalità, che dice che due insiemi sono uguali se solo se hanno gli stessi elementi come membri, e il principio di comprensione, che dice per ogni elemento che gode di una certa proprietà esiste un insieme che racchiude tutti e soli gli elementi che godono di quella proprietà. Cominciando con l'esposizione del paradosso si prendano due tipologie di insiemi, gli insiemi che non sono membri di sé stessi, e quelli che sono membri di sé stessi.
Per fare un esempio, l’insieme di tutti quegli oggetti che posseggono la proprietà di essere una tazza non è esso stesso una tazza, poiché è un insieme, e gli insiemi non sono tazze, e così via con gli insiemi dei piatti o degli alberi; gli insiemi di questo tipo appartengono alla prima tipologia elencata, in quanto non sono membri di sé stessi. Prendiamo adesso l’insieme di tutti quegli oggetti che posseggono la proprietà di essere astratti, in questo caso l’insieme che racchiude questi oggetti racchiude anche sé stesso, poiché gli insiemi sono oggetti astratti; questo tipo di insiemi li inseriamo nella seconda tipologia.
Racchiudiamo poi queste due tipologie di insiemi in due insiemi ancora più grandi: l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi e l’insieme di tutti gli insiemi che appartengono a sé stessi. Chiediamoci poi se questi due insiemi appartengono o no a sé stessi, ovvero se possiedono sé stessi come membri. Prendiamo il primo insieme, l’insieme di tutti gli insiemi che sono membri di sé stessi: questo insieme appartiene a sé stesso poiché esso è l’insieme di tutti gli insiemi che appartengono a sé stessi, e di conseguenza avrà anch'egli la proprietà di appartenere a sé stesso. La proprietà del nostro insieme combacia con la proprietà dei mio suoi membri.
Passando al secondo insieme e ponendo su di esso la medesima domanda emerge un problema. Se tale insieme possiede la proprietà di non appartenere a sé stesso, e quindi non è membro di sé stesso, deve allora appartenere a sé stesso, poiché esso contiene tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi. Percorrendo questa ipotesi si giunge a contraddizione. Se tale insieme possiede la proprietà di appartenere a sé stesso, e quindi è membro di sé stesso, non deve allora appartenere a sé stesso, poiché esso contiene tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi. Percorrendo questa ipotesi si giunge di nuovo a contraddizione. La nozione intuitiva di insieme, controllata per mezzo del principio di estensionalità e del principio di comprensione, genera un problema, e se una delle leggi fondamentali è inconsistente, lo è l'intero sistema.
Lo stesso problema può essere riscontrato se si prende in esame la legge fondamentale V del sistema di Frege. E dal momento che per mezzo di queste leggi fondamentali Frege riteneva di aver ridotto l'aritmetica alla logica il progetto logicista non può più essere perseguibile. L'esistenza di paradossi che appartengono al linguaggio è un fatto noto fin dall’epoca dei greci, il linguaggio naturale è impreciso e cade spesso in problematiche legate al suo rigore. Avere una teoria fondativa della matematica contraddittoria è un problema diverso, poiché dai linguaggi formali (logica-matematica) è richiesto un rigore maggiore. I tentativi di Frege di risolvere il paradosso furono fallimentari e il sogno logicista cadde.
Russell, che era anche egli logicista, insieme al suo amico e matematico Alfred North Whitehead (1861-1947), propose un sistema formale, noto come teoria dei tipi, che bloccava il formarsi dell'antinomia scoperta da Russell. Il concetto alla base di questa teoria è il seguente: si pone una gerarchia di tipi logici e si stabilisce che, un tipo logico di un dato livello nella gerarchia non può predicare di un tipo logico del medesimo livello, ma solo di tipi logici di livello inferiore. Per semplificare il tutto diciamo che, un insieme è un tipo logico che si trova ad un livello superiore dei suoi elementi e per questo si può parlare dell'insieme di tutte le tazze, o di tutti gli oggetti astratti, ma non dell'insieme di tutti gli insiemi.
Dopo Frege e Russell è stata proposta una versione aggiornata della teoria insiemi di Cantor che potesse essere considerata fondativa per la matematica: nasce così, per mano dei matematici Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) e Adolf Abraham Halevi Fraenkel (1891-1965) la teoria assiomatica degli insiemi Zermelo-Fraenkel. Questa teoria non si basa più sulla nozione intuitiva di insieme, ma le possibilità e le proprietà che un insieme può possedere vengono governate per mezzo di assiomi. Tale teoria assume una posizione di rilievo, e prende il posto della teoria dei tipi di Russell e Whitehead, per due motivi principali: 1) la primitività e la semplicità delle sue nozioni di base e 2) la sua notevole potenza derivativa (essa permette di spiegare la maggior parte delle teorie matematiche significative). Nel caso della teoria assiomatica degli insiemi, il formarsi dell'antinomia scoperta da Russell viene bloccata da uno dei suoi assiomi fondamentali: l'assioma di isolamento.
Il problema, da un punto di vista logicista, della teoria assiomatica degli insiemi sta proprio nel fatto che nonostante sia una teoria della logica, di "logico", nel senso classico del termine, ha ben poco. In senso fregeano la nozione di logico è legata in senso stretto al pensiero, alle sue "leggi" e, di conseguenza, ad ogni indagine sulla conoscenza umana. Questa idea naive della logica è qualcosa che i logici hanno imparato a lasciarsi alle spalle in favore di una maturità di questo campo di indagine. Difatti, la logica contemporanea è una disciplina a tutti gli effetti che si occupa di indagare i fondamenti della matematica. Per contro, il logicismo tutt'oggi si presenta come un progetto che ha fatto il suo corso, e che forse è bene lasciare alla storia.
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